[拼音]:Lujin wenti

[英文]:Luzin problem

又称卢津猜想,傅立叶级数理论中的一个著名问题。1913年俄国数学家Η.Η.卢津在他发表的一篇论文中,提出了如下的猜想:区间[0,2π]上平方可积函式的傅立叶级数,在[0,2π]上几乎处处收敛。这个猜想经过半个多世纪许多数学家的努力,终于被瑞典数学家L.卡尔森于用非常深刻的数学方法所证实。

傅立叶级数理论是19世纪初,从关于热传导的研究中产生的。中心问题是:怎样的函式可以用它的傅立叶级数来表示?随著勒贝格测度、勒贝格积分理论的创立,傅立叶级数的几乎处处收敛问题逐渐为人们所重视。1906年,P.J.L.法图首先证明,假如

W(n)=n,

(1)

则傅立叶级数

(2)

在[0,2π]上几乎处处收敛。1909年,H. 外尔指出,当W(n)=n1/3时,结论仍成立。1913年,E.W.霍布森把条件降低为W(n)=nε,ε是任意小的正实数。同年,M.普朗歇尔和G.H.哈代把W(n)分别改进到log3n和log2n。卢津又进一步提出他的猜想,认为W(n)=1(即(2)是平方可积函式的傅立叶级数)时,级数(2)就几乎处处收敛。

卢津的猜想是以他在一系列研究工作中得到的两个结果为根据的:

(1)以2π 为周期的平方可积函式ƒ的傅立叶级数几乎处处收敛的充分必要条件是等式

(3)

在[0,2π]上几乎处处成立,其中愝是ƒ的共轭函式,积分

表示柯西-勒贝格积分

②在上述条件下,积分

(4)

在[0,2π]上几乎处处存在,并且是有限的。

考虑到n→∞时,cos nx在[0,2π]上出现正值和负值的机会相等,因此卢津认为,对于平方可积函式,从(4) 的几乎处处有限性很可能导致式(3)在[0,2π]上几乎处处成立,从而ƒ的傅立叶级数几乎处处收敛。

卢津猜想发表之后,引起了世界上许多第一流数学家的关注。在长长的53年中,这个猜想既不能被证实,也无法被否定。但是围绕著它,出现了从正反两方面研究的一些重要成果。1923年,Α.Η.柯尔莫哥洛夫构造了一个可积函式,它的傅立叶级数几乎处处发散。1926年他又发现了一个傅立叶级数处处发散的可积函式。但这两个可积函式都不是平方可积的。因此卢津猜想不能被否定。从肯定方面来接近卢津猜想的,则有1925年柯尔莫哥洛夫、Γ.A.谢利维奥尔斯托夫和A.普莱斯纳的工作。他们把W(n)进一步降低到logn,但这离卢津猜想的证实仍有很大距离。以后的40多年没有什么显著的进展。基于上述柯尔莫哥洛夫的两个反例,在相当一部分有影响的数学家中,逐渐产生了否定卢津猜想的倾向。例如1946年,在为纪念美国普林斯顿大学建校200周年举行的数学问题讨论会上,A.赞格蒙就认为,在三角级数理论方面提出猜想,根据历史的经验,往往是要失败的。他指出,甚至连续函式的傅立叶级数是否必有收敛点都还不清楚。他是从否定卢津猜想的角度来考虑的。其后,卢津猜想一般就改变成两个带有倾向性的正反两方面的问题:

(1)是否存在连续函式,它的傅立叶级数在某个正测度的点集上发散?②是否所有连续函式的傅立叶级数都几乎处处收敛?把问题集中到连续函式,这就反映了一定程度的倾向性,即认为原来的卢津猜想未必成立。可是改变后的卢津问题的证明仍没有多大进展。直到1959年,A.-P.考尔德伦指出,如果一切平方可积函式ƒ的傅立叶级数的部分和序列Sn(ƒ,x)几乎处处收敛,那么应当成立以下的不等式:

mes{…}表示点集的勒贝格测度,

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