[拼音]:Mo’ersi lilun

[外文]:Morse theory

微分拓扑的一个重要分支。通常是指两部分内容:一部分是微分流形上可微函式的莫尔斯理论,即临界点理论;另一部分是变分问题的莫尔斯理论,即大范围变分法。确切地说,假设ƒ是n维微分流形M上的实值可微函式,ƒ的临界点p是指梯度向量场grad ƒ的零点,即在区域性座标下使得

的点。ƒ的全部临界点的性态与流形M本身的拓扑结构有密切的关系,探索这些关系就是临界点理论的主要任务。例如,著名的莫尔斯不等式就是这样一种关系:

M0≥R0

M1-M0≥R1-R0,

……

Mk-Mk-1+…±M0≥Rk-Rk-1+…±R0,

……

Mn-Mn-1+…±M0=Rn-Rn-1+…±R0,

式中Rk是n维闭流形M的k维模2贝蒂数,即同调群hk(M,Z2)的秩,Mk是M上非退化函式ƒ的指数为k的临界点的个数。这里说ƒ是非退化函式,是指ƒ的任何临界点p均非退化,即在区域性座标下ƒ在p处的黑塞矩阵

之秩为n;这个矩阵的负特征值的个数称为临界点p的指数。莫尔斯不等式是H.M.莫尔斯本人在20世纪20年代建立的基本结果,后来有了远为一般的结果。例如,考虑图1

中环面M 关于水平切面V的高度函式ƒ:M→R,其中p,q,r,s是ƒ的四个非退化临界点,其指数分别为0,1,1,2,因为可以适当选择区域性座标,使得在p的邻近ƒ=ƒ(p)+x2+y2(旋转抛物面),在q的邻近ƒ=ƒ(q)-x2+y2(鞍面),在r的邻近ƒ=ƒ(r)-x2+y2(鞍面),在s的邻近ƒ=ƒ(s)-x2-y2(旋转抛物面)。命

不难看出,当α由小变大经过各个临界值时,Mα的同伦型发生表

中所列的变化。

可见,当α从小变大经过指数为λ的临界点时,Mα的同伦型变化相当于粘上一个λ维胞腔,从而整个环面M的同伦型相当于由一个 0维胞腔、两个一维胞腔以及一个二维胞腔组成的CW复形,这样就把M的同伦型与ƒ 的临界点的性态联络起来了。如果把这个事实推广到一般情形就是:

临界点理论的基本定理

临界点理论的应用中最完美的是对测地线问题的应用,这就是变分学的莫尔斯理论。例如,考虑完备黎曼流形M上两个固定端点p和q之间的测地线问题,即是使弧长为极小的变分问题:

式中ω:[0,1]→M 表示M上的逐段光滑道路,ω(0)=p,ω(1)=q;这个变分问题的泛极线就是所谓测地线。于是,从p 到q 的所有光滑测地线的性态与流形M的拓扑结构之间是否有什么关系,这就是大范围变分学要研究的主要问题,可以应用临界点理论的框架得到相似的结果。命Ω=Ω (M;p,q)表示M上从p到q所有逐段光滑道路组成的空间,具有尺度拓扑。

式中ρ 表示M上由黎曼尺度汇出的距离函式;

表示ω 上的弧长。

大范围变分学基本定理

命M是完备黎曼流形,p,q∈M沿任何测地线不共轭,则Ω(M;p,q)具有可数CW复形的同伦型:对于从p到q每条指数为λ的测地线,这个复形有一个λ维胞腔。

随著拓扑学的发展,莫尔斯理论本身也有很大的飞跃。例如,由于临界点定义为梯度向量场grad ƒ 的零点,自然可以考虑n维闭流形M上一般向量场X 的零点与M的拓扑结构之间的关系,即M上的动力系统

的奇点与M的拓扑结构的关系。S.斯梅尔在某些假设下得到了形式相同的莫尔斯不等式,不过这时Mk=αk+bk+bk+1,αk表示向量场X 的k型零点的个数,bk表示k型闭轨线的条数。斯梅尔正是在这个基础上完成了他关于高维庞加莱猜想的卓越工作,这是微分拓扑学的重大成就之一。其次,由于测地线问题是一维变分问题,本来是无限维的空间Ω才能化为有限维流形应用临界点理论来处理。但一般的多维变分问题就无法做到这一点,因而要求发展无限维流形上的临界点理论,直接处理相应的无限维空间Ω,从而把原来的两个方面统一起来。

参考书目

J.Milnor 著,江嘉禾译:Morse理论,《数学译林》,北京,1980~1981。(J. Milnor,Morse Theory, Ann. Math. Studies,Princeton Univ. Press, Princeton, 1963.)

H.赛弗尔、W.施雷法著,江嘉禾译:《大范围变分学》,上海科学技术出版社,上海,1963。(H.Seifert und W.Threlfall,variationsrechnung im Grossen,Chelsea Pub.Co.,1948.)

S.Smale, Morse Inequalities for a Dynamical Systems,Bull. Amer. Math.Soc.,Vol. 66, pp.43~49,1960.

R.S.Palais, Morse Theory on Hibert Manifolds,Topology,Vol.2,pp. 299~340, 1963.

R.S.Palais and S.Smale,A Generalized MorseTheory,Bull. Amer. Math. Soc.,Vol.70,pp. 165~172, 1964.

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